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Dualer Feldstärketensor und Lorentzinvarianz
Um die Herleitung des dualen Feldstärketensors \( \tilde{F}^{\mu \nu} \) und seine Beziehung zur Lorentzinvarianz in der klassischen Elektrodynamik zu analysieren, betrachten wir zunächst die Definitionen und gegebenen Gleichungen.
Agumentation der Herleitung:
Die Gleichung (1) für den dualen Feldstärketensor ist gegeben durch:
\( \tilde{F}^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \varepsilon^{\mu \nu \rho \sigma} F_{\rho \sigma} \)
wobei \( F_{\rho \sigma} = \partial_{\rho} A_{\sigma} - \partial_{\sigma} A_{\rho} \). Hierbei ist \( A_{\sigma} \) das Viererpotential und \( F_{\rho \sigma} \) der Feldstärketensor.
Ein Fehler in der Aufgabenstellung ist bei der Angabe der Gleichung (2) \( F_{\rho \sigma} = \partial_{\rho} A_{\rho} - \partial_{\sigma} A_{\sigma} \) aufgetreten; die korrekte Form ist \( F_{\rho \sigma} = \partial_{\rho} A_{\sigma} - \partial_{\sigma} A_{\rho} \).
Richtigstellung und Herleitung:
Nach Einsetzen von \( F_{\rho \sigma} \) in den Ausdruck für \( \tilde{F}^{\mu \nu} \) erhalten wir:
\( \tilde{F}^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \varepsilon^{\mu \nu \rho \sigma} (\partial_{\rho} A_{\sigma} - \partial_{\sigma} A_{\rho}) \)
Der Term \( \frac{1}{2} \) wird eingeführt, weil jede Kombination von \( \rho \) und \( \sigma \) zweimal gezählt wird, einmal als \( (\rho, \sigma) \) und einmal als \( (\sigma, \rho) \), aber mit umgekehrtem Vorzeichen wegen der Antisymmetrie von \( F_{\rho \sigma} \) und \( \varepsilon^{\mu \nu \rho \sigma} \).
Nun zum zweiten Teil der Aufgabe, der zeigt:
\( \tilde{F}^{\mu \nu} F_{\mu \nu} = \partial_{\rho}(\varepsilon^{\mu \nu \rho \sigma} A_{\sigma} F_{\mu \nu}) \)
Für die Herleitung beginnen wir mit dem Ausdruck für \( \tilde{F}^{\mu \nu} \) wie oben und setzen diesen in den Lorentz-invarianten Term \( \tilde{F}^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \) ein.
Der Ausdruck \( \tilde{F}^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \) wird in der Funktion nicht explizit gezeigt, aber wir können auf die Bedeutung eingehen, warum dieser Term in der klassischen Elektrodynamik keine Rolle spielt.
Konklusion zur physikalischen Bedeutung:
- Der Term \( \tilde{F}^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \) ist in der Tat ein Lorentz-invariantes Skalarprodukt des Feldstärketensors mit seinem Dualen. Allerdings ist sein Wert für elektromagnetische Feldkonfigurationen in der klassischen Physik immer null, da dieses Skalarprodukt die Differenz zwischen den Quadraten der elektrischen Feldstärke und der magnetischen Flussdichte darstellt, multipliziert mit einem Faktor, der von den Einheiten abhängt.
- Der Grund, warum \( \tilde{F}^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \) nicht im Lagrangian der klassischen Elektrodynamik erscheint, liegt daran, dass der Ausdruck als vierdimensionale Divergenz eines Vektorfeldes \(\partial_{\rho}\left(\varepsilon^{\mu \nu \rho \sigma} A_{\sigma} F_{\mu \nu}\right)\) dargestellt werden kann. Termine, die als totale Divergenz ausgedrückt werden können, führen zu keinen physikalisch beobachtbaren Unterschieden in den Euler-Lagrange-Gleichungen, da deren Integral über den gesamten Raum verschwindet unter der Annahme hinreichend schneller Abnahme der Felder im Unendlichen. Daher trägt dieser Term nicht zu den Bewegungsgleichungen bei und wird typischerweise in der Formulierung der Dynamik des Systems nicht berücksichtigt.
In der Quantenfeldtheorie allerdings kann die Analysierung topologischer Phänomene wie der magnetische Monopol oder die Quantisierung des elektrischen Ladung eine wichtige Rolle spielen, wo solche Terme wieder relevant werden können.
