Welche der folgenden Aussagen über den gegebenen Paritätsoperator sind richtig?

Question

Aufgabe:

Die Wirkung des Paritätsoperators \( \hat{S} \) auf eine Wellenfunktion im Positionsraum ist definiert als \( \langle x|\hat{S}| \psi\rangle= \) \( \langle-x \mid \psi\rangle \), oder äquivalent \( S \psi(x)=\psi(-x) \). Dies impliziert die Wirkung von \( \hat{S} \) auf Elemente der Positionsbasis als \( \langle x| \hat{S}=\langle-x| \) und durch hermitesche Konjugation \( \hat{S}^{\dagger}|x\rangle=|-x\rangle \).

Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Kreuzen Sie jeden korrekten Ausdruck.

1. \( \hat{S} \) ist hermitesch
2. \( \hat{S} \) ist antihermitesch
3. \( \hat{S^2} x=-1 \)
4. \( \hat{S}|p\rangle=-|-p\rangle \) für die Impuls-Raum Basis
x. \( \hat{S} \hat{X}=-\hat{X} \hat{S} \) and \( \hat{S} \hat{P}=-\hat{P} \hat{S} \) mit \( \hat{X} \) and \( \hat{P} \) Positions- und Impuls- Operator jeweils

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Aussage 1: \( \hat{S} \) ist hermitesch

Um zu überprüfen, ob \( \hat{S} \) hermitesch ist, müssen wir zeigen, dass \( \hat{S} = \hat{S}^\dagger \). Da gegeben ist, dass für jede Position \( x \), \( \hat{S}^\dagger|x\rangle = |-x\rangle \), welches identisch zu \( \hat{S}|x\rangle \) ist, können wir sagen, dass \( \hat{S} \) tatsächlich hermitesch ist. Daher ist Aussage 1 richtig.

Aussage 2: \( \hat{S} \) ist antihermitesch

Ein Operator ist antihermitesch, wenn \( \hat{S}^\dagger = -\hat{S} \). Da jedoch bereits gezeigt wurde, dass \( \hat{S} \) hermitesch ist (\( \hat{S} = \hat{S}^\dagger \)), kann \( \hat{S} \) nicht antihermitesch sein. Daher ist Aussage 2 falsch.

Aussage 3: \( \hat{S^2}x = -1 \)

Um diese Aussage zu prüfen, wenden wir \( \hat{S} \) zweimal auf eine Position \( x \) an: \( \hat{S}^2 x = \hat{S}(\hat{S}x) = \hat{S}\psi(-x) = \psi(x) \). Dies zeigt, dass \( \hat{S}^2 \) die ursprüngliche Funktion \( \psi(x) \) wiederherstellt, was bedeutet, dass \( \hat{S}^2 = I \), wobei \( I \) der Identitätsoperator ist, daher ist Aussage 3 falsch.

Aussage 4: \( \hat{S}|p\rangle = -|-p\rangle \) für die Impuls-Raum Basis

Die Wirkung des Paritätsoperators \( \hat{S} \) auf einen Impulszustand \( |p\rangle \) führt zu einer Umkehrung des Vorzeichens des Impulses, da Impuls und Position Fourier-Transformationspartner sind. Das korrekte Ergebnis ist jedoch \( \hat{S}|p\rangle = |-p\rangle \), ohne den Zusatz des negativen Vorzeichens. Dies bedeutet, dass Aussage 4 falsch ist.

Aussage 5: \( \hat{S} \hat{X} = -\hat{X} \hat{S} \) und \( \hat{S} \hat{P} = -\hat{P} \hat{S} \) mit \( \hat{X} \) und \( \hat{P} \) Positions- und Impulsoperator jeweils

Für den Positionsoperator \( \hat{X} \) würde die Kombination \( \hat{S} \hat{X} \psi(x) = \hat{S} x\psi(x) = -x \psi(-x) = -\hat{X} \hat{S} \psi(x) \), was zeigt, dass die erste Bedingung \( \hat{S} \hat{X} = -\hat{X} \hat{S} \) richtig ist.

Für den Impulsoperator \( \hat{P} \), welcher die Ableitung nach der Position in der Wellenmechanik involviert, und unter Berücksichtigung, dass der Impulsoperator Ableitungen nach \( x \) involviert (\( \hat{P} = -i\hbar \frac{d}{dx} \)), bleibt die Impulsoperation unter Paritätserhaltung invariant, implizierend \( \hat{S}\hat{P} = \hat{P}\hat{S} \). Daher ist der zweite Teil, \( \hat{S} \hat{P} = -\hat{P} \hat{S} \), falsch.

Somit ist die komplette Aussage 5 teilweise richtig und teilweise falsch; da jedoch die Behauptung als Ganzes dargestellt wurde und beide Teile korrekt sein müssen, um sie insgesamt als korrekt zu betrachten, werten wir sie als falsch.