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Wellenlänge der emittierten Strahlung berechnen
Um die Wellenlänge des Lichts zu berechnen, das emittiert wird, wenn ein Elektron von einem höheren zu einem niedrigeren Energiezustand übergeht, kann man die Rydberg-Formel verwenden. Die Energie eines Photons, das bei einem solchen Übergang emittiert wird, ist gleich der Differenz der Energieniveaus des Elektrons vor und nach dem Übergang. Diese Energie kann dann mit der Formel \(E = h\nu\) in eine Frequenz und dann mit \(c = \lambda\nu\) in eine Wellenlänge umgerechnet werden, wobei \(h\) das Planck'sche Wirkungsquantum, \(c\) die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, \(\nu\) die Frequenz und \(\lambda\) die Wellenlänge ist.
Die Energieniveaus eines wasserstoffähnlichen Atoms (oder Ions) können mit der Formel
\(E_n = - \frac{Z^2 R_H}{n^2}\)
berechnet werden, wobei \(E_n\) die Energie des Zustands mit der Quantenzahl \(n\), \(Z\) die Ordnungszahl (für K wäre das 19, für Li 3, wobei die effektive Kernladungszahl für die Ionen betrachtet werden muss: \(K^{18+}\) hat \(Z_{eff} = 19\) und \(Li^{2+}\) hat \(Z_{eff} = 3\)), \(R_H\) die Rydberg-Konstante für Wasserstoff (\(R_H = 13.6 \, \text{eV}\) oder \(R_H = 2.18 \times 10^{-18} \, \text{J}\)) ist.
Teilaufgabe 1: Emittierte Wellenlänge für \(K^{18+}\)
Das Ion im 5. angeregten Zustand bedeutet \(n_{initial} = 6\) (da der Grundzustand \(n = 1\) ist und der erste angeregte Zustand \(n = 2\) usw.). Wenn es in einen niedrigeren Zustand übergeht, wäre der niedrigste mögliche Zustand \(n_{final} = 1\), da dies die größte mögliche Emissionswellenlänge erzeugen würde (der Übergang zur nächsthöhere Energie Differenz).
Die Energie des Photons, das beim Übergang emittiert wird, ist demnach:
\(E = E_{initial} - E_{final} = - \frac{Z^2 R_H}{n_{initial}^2} - (- \frac{Z^2 R_H}{n_{final}^2})\)
Setzen wir die Werte ein für \(K^{18+}\) (\(Z = 19\)):
\(E = - \frac{19^2 \cdot R_H}{6^2} - (- \frac{19^2 \cdot R_H}{1^2})\)
\(E = 19^2 R_H (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{6^2})\)
\(E = 361 R_H \left(1 - \frac{1}{36}\right)\)
\(E = 361 R_H \left(\frac{35}{36}\right)\)
\(E = 350 R_H\)
Um die Wellenlänge zu finden, verwenden wir \(E = \frac{hc}{\lambda}\), wobei \(E\) in Joule umgerechnet werden muss, falls \(R_H\) in eV verwendet wurde. Für Berechnungen in Joule ist \(R_H = 2.18 \times 10^{-18} \, \text{J}\), \(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js}\), und \(c = 3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\).
\(350 \times 2.18 \times 10^{-18} \, \text{J} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js} \cdot 3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}}{\lambda}\)
\(7.63 \times 10^{-16} \, \text{J} = \frac{1.988 \times 10^{-25} \, \text{Jm}}{\lambda}\)
\(\lambda = \frac{1.988 \times 10^{-25} \, \text{Jm}}{7.63 \times 10^{-16} \, \text{J}}\)
\(\lambda = 2.61 \times 10^{-10} \, \text{m} = 261 \, \text{nm}\)
Teilaufgabe 2: Vergleich mit \(Li^{2+}\)
Der gleiche Übergang \(n=6\) zu \(n=1\) in einem \(Li^{2+}\)-Atom führt zu einer anderen Energiemenge, weil \(Z\) unterschiedlich ist. Da \(Z_{eff}\) für \(Li^{2+}\) niedriger ist als für \(K^{18+}\), würde die Energiemenge, die freigesetzt wird, und somit die Frequenz des emittierten Lichts kleiner sein. Folglich wäre die Wellenlänge des von einem \(Li^{2+}\)-Atom emittierten Lichts größer als die des \(K^{18+}\)-Ions.
Zusammengefasst:
- Für
\(K^{18+}\) im 5. angeregten Zustand, der in den Grundzustand übergeht, ist die größtmögliche emittierte Wellenlänge
ca. 261 nm.
- Für ein
\(Li^{2+}\) unter den gleichen Bedingungen würde eine
größere Wellenlänge emittiert, da die Energie der Übergänge aufgrund der geringeren effektiven Kernladungszahl niedriger ist.
