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Aufgabe:

Ein Wanderer besteigt eine glatte Felswand, deren Höhe nach dem Gesetz h=ax^2 mit a= 0,01 m^-1 zunimmt. In welcher Höhe wird er spätestens ausrutschen, wenn der Haftreibungskoeffizient  seiner Schuhe μH= 0,8 beträgt?


Problem/Ansatz:

Ich weiß einfach nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Kann mir jemand helfen?

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Hallo Lotte,

habe versucht, die Überlegungen von Ullim zu veranschaulichen.

an der Felswand (=Graph) rutscht der Wanderer spätestens dann, wenn er auf der Tangente an den Graph (schiefe Ebene) rutschen würde.

Das ist der Fall, wenn die Hangabtriebskraft FH gleich (minimal größer) ist als die Haftreibungskraft FR

Von der schiefen Ebene weißt du vielleicht, dass (mit dem Steigungswinkel α) gilt:

FH =  FG · sin(α)  und FR = μH · FG · cos(α)

     FG · sin(α)  =   μH · FG · cos(α)      | : FG | cos(α)

             sin(α)/cos(α) = μH

                    tan(α) = μH  →   tan(α) = 0,8   [ →  α ≈ 38,66° ]

Andererseits ist die Tangentensteigung tan(α) gleich dem Wert der Ableitung am Berührpunkt:

h(x) = 0,001·x2  →  h'(x) = 0,02·x

0,02 · x = 0,8  →  x = 40   , h(40) = 16

Der Wanderer rutscht also spätestens in 16 m Höhe.


Graph .jpg

Gruß Wolfgang

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Grundsätzlich ist es so, dass man ab dem Winkel ausrutscht, ab dem zum erstenmal $$ F_H \ge F_R $$ gilt. Also ab dem Winkel, ab der Kraft die hangabwärts wirkt \( (F_H) \) identisch ist mit der entgegengesetzt wirkenden Reibungskraft \( (F_R) \).

Es gilt \( F_H = F_G \sin(\alpha) \) und \( F_R = \mu F_G \cos(\alpha) \). Also kann der Winkel \( \alpha \) aus der Bedingung \(  F_H = F_R \) bestimmt werden. Das führt auf \( \mu = \tan(\alpha) \)

Andererseits berechnet sich \( \tan(\alpha) \) aus der ersten Ableitung der Höhenformel \( h(x) = a x^2 \) nach \( x \). D.h. es muss gelten

$$ h'(x) = \tan(\alpha) $$ Das nach \( x \) auflösen und diesen Wert in die Höhenformel an der Stelle \( x \) einsetzten ergibt die Höhe, ab der man ausrutscht.

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