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Über welche Betrachtung lässt sich einfach zeigen, dass der Cauchy-Spannungstensor symmetrisch sein muss?
Der Cauchy-Spannungstensor ist ein fundamentales Konzept in der Kontinuumsmechanik und beschreibt den Spannungszustand eines Materials in einem Punkt. Um die Symmetrie des Cauchy-Spannungstensors einfach zu zeigen, ist eine Betrachtung des Drehimpulses (oder Drehmomentes) eines Körpers und der daraus resultierenden Drehimpulsbilanz besonders aufschlussreich.
Folgende Schritte verdeutlichen, warum der Cauchy-Spannungstensor symmetrisch sein muss:
1.
Drehimpulsbilanz: Das zweite Cauchy-Euler'sche Bewegungsgesetz, welches die Drehimpulsbilanz eines deformierbaren Körpers beschreibt, besagt, dass die Summe aller äußeren Drehmomente gleich der zeitlichen Änderung des Drehimpulses des Körpers ist. In einem Körper, der nur durch Spannungen belastet wird und keine Volumenkräfte (wie z.B. Gravitation) erfährt, müssen sich die internen Drehmomente, die von den Spannungen herrühren, zu null aufsummieren, um ein Gleichgewicht zu bilden.
2.
Interne Spannungen und deren Momente: Betrachtet man ein infinitesimales Quader-Element innerhalb des Materials, auf das Spannungen wirken, resultieren aus diesen Spannungen Kräfte auf die Flächen des Quaders. Da die Spannungen über die Flächen verteilt sind, erzeugen sie auch Drehmomente um den Mittelpunkt des Quaders.
3.
Symmetrie durch Gleichgewicht der Momente: Um das Gleichgewicht der Drehmomente sicherzustellen, muss für jedes Paar von Spannungen, die auf gegenüberliegenden und orthogonal zueinander stehenden Flächen wirken, gelten, dass die durch sie erzeugten Momente entgegengesetzt gleich sind. Dies ist nur möglich, wenn der Spannungstensor symmetrisch ist. Die Symmetrie des Tensors (\(T_{ij} = T_{ji}\)) stellt sicher, dass keine resultierenden Drehmomente im Material verbleiben.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Forderung nach dem Gleichgewicht der Drehmomente im Material direkt zur Symmetrie des Cauchy-Spannungstensors führt. Das zweite Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz (Drehimpulsbilanz) ist somit der Schlüssel zum Verständnis der Symmetrie dieses Tensors in der Kontinuumsmechanik.
