Sinnvolle Vergrößerung eines Mikroskops

Question

Aufgabe:

Welche Okularvergrößerung V_OK wählt man zweckmäßigerweise bei einem Objektiv der Vergrößerung ß_Ob= 100 (Abbildungsmaßstab) und einer numerischen Apertur A= 1,35 ?Man beachte, dass das Auflösungsvermögen des Auges bei einem Sehwinkel von σ_A= 6.10-4rad liegt. Es werde monochromatisches Licht mit λ= 550 nm benutzt. Wie groß ist dann die förderliche Vergrößerung des Mikroskopes?

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich den Sehwinkel mit in meine Berechnung einbauen soll, jegliche Aussagen zur sinnvollen Vergrößerung eines Mikroskopes beziehen sich auf die Numerische Apertur. Die maximale sinnvolle Vergrößerung sollte bei 500 bis 1000 mal der NA liegen. Damit wäre das ganze ja simpel gelöst zu

$$V = 1000*NA=1350 \\ V_{OK}=\frac{V}{V_{OBJ}}=13,5$$

In der Theorie wäre das ja die Lösung zu meiner Aufgabe. Nur habe ich das Gefühl, dass ist nicht der gedachte Weg. Vielleicht kann mir jemand einen Anstoß geben?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Berechnung der förderlichen Vergrößerung eines Mikroskops

Um die frage nach der sinnvollen Okularvergrößerung \(V_{OK}\) für ein Mikroskop mit einem Objektiv der Vergrößerung \(\beta_{Ob}= 100\) und einer numerischen Apertur \(A= 1,35\) zu beantworten, betrachten wir zunächst das Auflösungsvermögen des Mikroskops und die förderliche Vergrößerung, welche das Sehvermögen des Auges mit dem Auflösungsvermögen des Mikroskops in Einklang bringt.

Die förderliche Vergrößerung eines Mikroskops \(V_{förd}\) wird oft mit dem 500- bis 1000-fachen der numerischen Apertur (\(NA\)) des Objektivs angegeben.

Für die Berechnung der förderlichen Vergrößerung unter Berücksichtigung der gegebenen Parameter (\(A= 1,35\) und \(\lambda= 550\,nm\)) und des Auflösungsvermögens des Auges bei einem Sehwinkel von \(\sigma_A= 6.10^{-4}\,rad\) gehen wir wie folgt vor:

Als erstes erinnern wir uns daran, dass das Auflösungsvermögen \(d\) eines Mikroskops nach der Formel von Abbe gegeben ist durch:

\( d = \frac{\lambda}{2A} \)

Bei einem \(\lambda\) von 550 nm und einer numerischen Apertur \(A = 1,35\), ist das kleinste auflösbare Detail \(d\) also:

\( d = \frac{550\,nm}{2 \cdot 1,35} = \frac{550}{2.7}\,nm \approx 203.7\,nm \)

Das menschliche Auge kann Details in einer Entfernung von etwa \(250\,mm\) (der Nahpunkt des Auges) mit einem minimalen Sehwinkel \(\sigma_A= 6.10^{-4}\,rad\) wahrnehmen. Das Auflösungsvermögen des Auges \(d_A\) lässt sich mit \(\sigma_A\) wie folgt bestimmen:

\( d_A = \sigma_A \cdot 250\,mm = 6.10^{-4}\,rad \cdot 250\,mm = 0.15\,mm = 150\,\mu m \)

Das Verhältnis dieses Werts zum Auflösungsvermögen \(d\) des Mikroskops gibt uns einen Hinweis auf die förderliche Vergrößerung, weil es uns sagt, wie stark wir das kleinste vom Mikroskop auflösbare Detail \(d\) vergrößern müssen, damit es gerade noch vom Auge als zwei getrennte Punkte wahrgenommen werden kann.

\( V_{förd} = \frac{d_A}{d} = \frac{150\,\mu m}{203.7\,nm} \approx 736 \)

Dies bedeutet, dass eine Gesamtvergrößerung des Mikroskops von etwa 736 als förderlich angesehen wird, um die kleinste Struktur, die das Mikroskop auflösen kann, gerade noch mit dem Auge unterscheiden zu können.

Für das Objektiv mit \(\beta_{Ob}= 100\) muss demnach das Okular eine Vergrößerung \(V_{OK}\) haben, so dass die Gesamtvergrößerung des Mikroskops ungefähr 736 ist. Die Gesamtvergrößerung des Mikroskops \(V_{ges}\) ist das Produkt aus der Vergrößerung des Objektivs und der des Okulars:

\( V_{ges} = \beta_{Ob} \cdot V_{OK} \)

Um \(V_{OK}\) zu finden, lösen wir nach \(V_{OK}\) auf:

\( V_{OK} = \frac{V_{ges}}{\beta_{Ob}} = \frac{736}{100} = 7.36 \)

Somit wäre eine Okularvergrößerung von etwa 7 bis 8 als sinnvoll zu betrachten, wenn man ein Objektiv mit einer Vergrößerung von 100 und einer numerischen Apertur von 1,35 verwendet, um die förderliche Vergrößerung im Einklang mit dem Auflösungsvermögen des menschlichen Auges und dem des Mikroskops zu halten.