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Um zu beweisen, dass die Lineale rechts und links und das obere und untere Lineal parallel zueinander ausgerichtet sind, wenn sie durch ein senkrecht zueinander stehendes Spiegelpaar betrachtet werden, können wir die Eigenschaften der Lichtreflexion und der geometrischen Symmetrie verwenden.
Beweis der Parallelität durch Spiegelung:
1.
Reflexionsgesetz: Das Gesetz der Reflexion besagt, dass der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel ist, wobei beide Winkel relativ zur Normalen (einer Linie senkrecht zur Oberfläche) des Spiegels gemessen werden. Bei einem perfekt flachen Spiegel bleibt die Parallelität der Lichtstrahlen erhalten, da alle einfallenden Strahlen, die parallel sind, in einem solchen Winkel reflektiert werden, dass die reflektierten Strahlen zueinander parallel bleiben.
2.
Erste Spiegelung: Betrachten wir zunächst nur ein Lineal und einen Spiegel. Wenn das Lineal parallel zur reflektierenden Oberfläche des Spiegels ausgerichtet ist, wird das Bild des Lineals im Spiegel auch parallel zu diesem Lineal sein, basierend auf dem Reflexionsgesetz.
3.
Zweite Spiegelung (senkrecht zur ersten): Wenn das Licht, das von dem ersten Spiegel reflektiert wurde, von einem zweiten Spiegel reflektiert wird, der senkrecht zum ersten steht, wird der Winkel, unter dem das Licht reflektiert wird, erneut gleich dem Einfallswinkel sein, bezogen auf die zweite reflektierende Oberfläche. Dies führt dazu, dass das endgültige Bild des Lineals, das durch die doppelte Spiegelung entstanden ist, parallel zur ursprünglichen Ausrichtung des Lineals ist, da beide Spiegelungen die Orientierung des ursprünglichen Lichtpfades bezüglich der Horizontalen und Vertikalen beibehalten.
Mathematische Operation der doppelten Spiegelung:
Eine doppelte Spiegelung an zwei senkrecht zueinander stehenden Ebenen entspricht mathematisch einer Rotation um \(180^\circ\).
Um dies zu sehen, kann man eine doppelte Spiegelung durch die Anwendung zweier Spiegelungsmatrizen in der Ebene darstellen. Eine Spiegelung an der x-Achse kann durch die Matrix \(\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\) dargestellt werden, und eine Spiegelung an der y-Achse durch \(\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\).
Die Multiplikation dieser beiden Matrizen ergibt:
\(
\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix},
\)
was einer Drehmatrix für eine Drehung um \(180^\circ\) entspricht, da diese Matrix jeden Punkt \((x, y)\) zu \((-x, -y)\) transformiert.
Also, in der Geometrie und linearen Algebra entspricht die komponierte Operation von zwei Spiegelungen an sich schneidenden Achsen einer Rotation um den doppelten Winkel zwischen den Achsen. Im Falle von senkrecht zueinander stehenden Spiegeln (Achsen), also \(90^\circ\), ist diese doppelte Winkel \(2\times 90^\circ = 180^\circ\).
