Lineare Gleichung: Setzen Sie eine lineare Abnahme voraus und berechnen Sie den Sauerstoffgehalt für 40 m Tiefe.

Question

Im Attersee wurde in einer Tiefe von 20 m der Sauerstoffgehalt 5,6 mg/l gemessen. In einer Wassertiefe von 50 m waren es noch 4,2 mg/l.

a) Setzen Sie eine lineare Abnahme voraus und berechnen Sie den Sauerstoffgehalt für 40 m Tiefe.

b) Geben Sie die Funktion O2 an, wenn O2(x) den Sauerstoff- gehalt in x Meter Tiefe angibt und stellen Sie die Frage aus a) grafisch dar.

c) Ab welcher Tiefe liegt der O2-Gehalt unter 5 mg/l ?

d) Wie hoch ist theoretisch der Sauerstoffgehalt unmittelbar unter der Wasseroberfläche?

Answer 1

a) s= Sauerstoffgehalt (in mg/l)

t= Wassertiefe -20m (in m)

s(t)= 5,6-(1,4/30)t

s(20)=  5,6-(1,4/30)*20=4,667

⇒Bei einer Wassertiefe von 40m gibt es einen Sauerstoffgehalt von 4,667 mg/l

b) siehe a)

c) s(t) < 5

5<  5,6-(1,4/30)t

0,6<(1,4/30)t             I:(1,4/30)

12,857<t

⇒Bei einer Wassertiefe von über 32.857 m gibt es einen geringeren Sauerstoffgehalt als 5mg/l

d) s(-20) =5,6-(1,4/30)*(-20)= 6,5333

⇒An der Wasseroberfläche gibt es einen Sauerstoffgehalt von 6,5333 mg/l

LG

Answer 2

Antwort mit KI erzeugt

Lösung:

Wir gehen von einer linearen Beziehung \(O2(x) = mx + b\) aus, wobei \(x\) die Tiefe in Metern und \(O2(x)\) den Sauerstoffgehalt in mg/l bezeichnet. \(m\) ist die Steigung der Geraden, und \(b\) der y-Achsenabschnitt, der den Sauerstoffgehalt an der Oberfläche (bei \(x = 0\)) angibt. Zur Lösung der Aufgabe nutzen wir die gegebenen Datenpunkte.

Gegebene Punkte:
1. Punkt \((20, 5,6)\) für 20 m Tiefe
2. Punkt \((50, 4,2)\) für 50 m Tiefe

a) Berechnung des Sauerstoffgehalts für 40 m Tiefe:

Zuerst ermitteln wir die Steigung \(m\) der Geraden, die definiert ist als:
\(m = \frac{{O2(x_2) - O2(x_1)}}{{x_2 - x_1}}\)

Einsetzen der gegebenen Werte:
\(m = \frac{4,2 - 5,6}{50 - 20} = \frac{-1,4}{30} = -\frac{7}{150}\)

Mit der Steigung können wir nun den y-Achsenabschnitt \(b\) berechnen. Wir suchen ein \(b\), so dass die Gleichung mit einem der gegebenen Punkte, z.B. \(x_1=20\) und \(O2(x_1)=5,6\), erfüllt ist:
\(5,6 = -\frac{7}{150} \cdot 20 + b\)

Lösen nach \(b\):
\(b = 5,6 + \frac{7}{150} \cdot 20 = 5,6 + \frac{28}{30} = 5,6 + \frac{14}{15}\)
\(b = 5,6 + 0,9333\approx 6,5333\)

Die Gleichung für den Sauerstoffgehalt in Abhängigkeit von der Tiefe (in m) lautet somit:
\(O2(x) = -\frac{7}{150}x + 6,5333\)

Nun zur Berechnung des Sauerstoffgehalts für 40 m Tiefe:
\(O2(40) = -\frac{7}{150}\cdot 40 + 6,5333 \)
\(= -\frac{7}{150} \cdot 40 + 6,5333 = -\frac{28}{15} + 6,5333\)
\(= -1,8667 + 6,5333 = 4,6666\, \text{mg/l}\)

b) Funktion \(O2(x)\) und grafische Darstellung:

Die Funktion lautet \(O2(x) = -\frac{7}{150}x + 6,5333\). Für die grafische Darstellung müsste diese Funktion in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden, wobei die x-Achse die Tiefe in Metern (0 bis etwas über 50 m) und die y-Achse den Sauerstoffgehalt in mg/l darstellt.

c) Tiefe für einen Sauerstoffgehalt unter 5 mg/l:

Gesucht ist das \(x\), für das \(O2(x) < 5\) gilt. Wir setzen \(O2(x) = 5\) und lösen nach \(x\):
\(5 = -\frac{7}{150}x + 6,5333\)

Umstellen nach \(x\):
\(x = \frac{6,5333 - 5}{-\frac{7}{150}} = \frac{1,5333}{\frac{7}{150}}\)
\(x = 1,5333 \cdot \frac{150}{7} \approx 32,8571\)

Das bedeutet, der Sauerstoffgehalt fällt unter 5 mg/l bei einer Tiefe von knapp über 32,86 Metern.

d) Theoretischer Sauerstoffgehalt unmittelbar unter der Wasseroberfläche:

Der Sauerstoffgehalt an der Wasseroberfläche (bei \(x = 0\)) wird durch den y-Achsenabschnitt \(b\) repräsentiert:
\(O2(0) = 6,5333\, \text{mg/l}\)

Unmittelbar unter der Wasseroberfläche beträgt der Sauerstoffgehalt also theoretisch \(6,5333\, \text{mg/l}\).