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Kapazität und Ladung im Blockkondensator
Um die Fragen zu beantworten, verwenden wir grundlegende Formeln der Elektrodynamik für den Plattenkondensator. Die Kapazität \(C\) eines Kondensators wird über folgende Formel berechnet:
\(C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d}\)
Dabei ist
- \(C\) die Kapazität,
- \(\varepsilon_0\) die elektrische Feldkonstante (\(8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)),
- \(\varepsilon_r\) die relative Dielektrizitätskonstante,
- \(A\) die Fläche einer Kondensatorplatte und
- \(d\) der Abstand zwischen den Platten.
Die Ladung \(Q\) eines Kondensators für eine gegebene Spannung \(V\) wird durch die Formel
\(Q = C \cdot V\)
berechnet.
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Teil a) Kapazität und Ladung bei 100 V
Zuerst berechnen wir die Kapazität des Kondensators:
- \(A = 20 \, \text{m}^2\)
- \(d = 0.05 \, \text{mm} = 0.05 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
- \(\varepsilon_r = 2\)
\(C = \frac{(8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}) \cdot 2 \cdot (20 \, \text{m}^2)}{0.05 \times 10^{-3} \, \text{m}}\)
\(C = \frac{355 \times 10^{-12} \, \text{F}}{0.05 \times 10^{-3}}\)
\(C = 355 \times 10^{-12} \times 20 \times 10^{3} \, \text{F}\)
\(C = 7.1 \times 10^{-9} \, \text{F} = 7.1 \, \text{nF}\)
Nun bestimmen wir die Ladung bei einer Spannung von 100 V:
\(Q = C \cdot V = 7.1 \times 10^{-9} \, \text{F} \cdot 100 \, \text{V}\)
\(Q = 7.1 \times 10^{-7} \, \text{C} = 710 \, \text{µC}\)
Bei einer Spannung von 100 V beträgt die Kapazität des Kondensators 7.1 nF und die Ladung 710 µC.
Um die Spannung zu finden, bei der \(Q = 100 \, \text{µC}\), setzen wir den gegebenen Wert für \(Q\) und lösen die Gleichung nach \(V\):
\(100 \times 10^{-6} \, \text{C} = 7.1 \times 10^{-9} \, \text{F} \cdot V\)
\(V = \frac{100 \times 10^{-6} \, \text{C}}{7.1 \times 10^{-9} \, \text{F}}\)
\(V \approx 14.08 \times 10^{3} \, \text{V} = 14.08 \, \text{kV}\)
Die notwendige Spannung für eine Ladung von 100 µC ist circa 14.08 kV.
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Teil b) Länge der Streifen für C = 10 µF
Um die Länge \(L\) zu finden, für die \(C = 10 \, \text{µF}\) gilt, wissen wir:
- \(C = 10 \, \text{µF} = 10 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
- Die Breite der Streifen ist \(5.0 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}\)
Die Fläche \(A\) eines Streifens berechnet sich durch \(A = L \times \text{Breite}\). Die Formel für die Kapazität wird umgeformt:
\(10 \times 10^{-6} \, \text{F} = \frac{8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m} \cdot 2 \cdot L \cdot 0.05 \, \text{m}}{0.05 \times 10^{-3} \, \text{m}}\)
\(10 \times 10^{-6} = 8.85 \times 2 \times 10^{-12} \cdot L \times 10^{3}\)
\(10^{-6} = 17.7 \times 10^{-9} \cdot L\)
\(L = \frac{10^{-6}}{17.7 \times 10^{-9}}\)
\(L = \frac{1}{17.7} \times 10^{3}\)
\(L \approx 56.5 \, \text{m}\)
Die Streifen müssten etwa 56.5 m lang sein, damit die Kapazität 10 µF beträgt.